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              【版權合作資料】05高二數學競賽輔導材料-立體幾何  共用

              • 文件大小:311 KB
              • 資料類型:試題 資料編號:989764
              • 感謝網友:shuxuea上傳  審核人:競賽站長
              • 上傳時間:2014年09月01日 00時08分00秒
              • 更新時間:2014年09月01日 00時08分00秒
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              文件簡介::
              高二數學競賽輔導材料5——立體幾何
              作者:廣東省廣州市從化區(縣)第二中學網站注冊名為:ttggtt
              本資料由作者授權www.nc535.com唯一網絡使用,任何會員均可以自由使用于日常教學,但嚴禁以任何方式上傳給其他網站或應用于商業用途,如違反者本站追擊相關人員責任。
              1(06年).如圖,點是矩形所在平面外一點且平面,,.
              (Ⅰ)求證:平面平面;
              (Ⅱ)若是的中點,求異面直線與所成角的余弦值;
              (Ⅲ)在邊上是否存在一點,使得點到平面的距離為1.若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.












              2.(07)多面體的直觀圖,主視圖,俯視圖,左視圖如下所示.










              (Ⅰ)求與平面所成角的正切值;
              (Ⅱ)求面與面所成二面角的余弦值;
              (Ⅲ)求此多面體的體積.








              3.(08)如圖3所示,在三棱柱中,底面,
              .
              (1)若點分別為棱的中點,求證:平面;
              (2)請根據下列要求設計切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體.簡單地寫出一種切割和拼接方法,

              并寫出拼接后的長方體的表面積(不必計算過程).








              圖3


              4.(09)如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高,E、F分別是AC、BC邊的中點.現將△ABC沿CD折疊成如圖2所示的直二面角A—DC—B.
              (1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;
              (2)求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比.

















              5(10)如圖,已知二面角的平面角為,在半平面內有一個半圓,其直徑在上,是這個半圓上任一點(除、外),直線、與另一個半平面所成的
              角分別為、.試證明為定值.























              6.(11)如圖,已知多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
              AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F為CE的中點.
              (1)求證BF⊥平面CDE;
              (2)求多面體ABCDE的體積;
              (3)求平面BCE和平面ACD所成的銳二面角的大小.













              7.(12)如圖,在三棱錐中,平面,,,
              ,分別是的中點.
              (1)求證:;
              (2)求二面角的余弦值;
              (3)求點到平面的距離.







              8.(13)
              如圖,己知△中,,,平面,,、分別是、上的動點,且。
              (1)求證:不論為何值,總有平面⊥平面;
              (2)若平面與平面所成的二面角的大小為,求的值.



















              2006年(12)(本小題滿分15分)
              如圖,點是矩形所在平面外一點且平面,,.
              (Ⅰ)求證:平面平面;
              (Ⅱ)若是的中點,求異面直線與所成角的余弦值;
              (Ⅲ)在邊上是否存在一點,使得點到平面的距離為1.若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.












              (12)(本小題滿分15分)
              解法一:(Ⅰ)因平面,面,故面面.
              因四邊形是矩形,故.
              因面面,故面.
              因面,故平面平面.
              (Ⅱ)取中點,連結、.
              因是的中點,故.
              所以或它的補角是與所成的角.
              易得,,,
              故.
              故與所成角的余弦值為.
              (Ⅲ)假設點存在,過點作于,
              因為面面,面面,
              所以面,即.
              如圖,易知,1
              則.
              故存在一點,當時使點D到平面PAQ的距離為1.
              解法二:(Ⅰ)同解法一.
              (Ⅱ)以A為原點,AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐
              標系,
              ∵,,∴,,,,,.
              ∵,,
              由,
              ∴與所成角的余弦值為.……10分
              (Ⅲ)假設存在點符合條件,則
              ,.
              又設平面PAQ的法向量為,
              由即取,
              則是平面PAQ的一個法向量.
              由題意有,即,解得.
              故存在一點,當時使點D到平面PAQ的距離為1.
              200713.(本小題滿分20分)
              多面體的直觀圖,主視圖,俯視圖,左視圖如下所示.










              (Ⅰ)求與平面所成角的正切值;
              (Ⅱ)求面與面所成二面角的余弦值;
              (Ⅲ)求此多面體的體積.


              13.(Ⅰ)解:由已知圖可得,平面平面,取中點,連接,
              在等腰中,有,則平面.
              ∴是與平面所成的角.
              ∵,∴.
              故與平面所成角的正切值為2.
              (Ⅱ)解法1:取中點,連接,同理有平面,即是在平面內的射影.
              取的中點M,取的中點N,連接MN,AM,AN,則就是面與面所成的二面角.
              ∵MN=a,,∴.即.
              ∴面與面所成二面角的余弦值為.
              解法2:取中點,連接,同理有平面,即是在平面內的射影,
              在中,,,又,
              設面與面所成二面角的大小為,則.
              ∴面與面所成二面角的余弦值為.
              (Ⅲ)解:∵該多面體為長方體削去四個全等的三棱錐,每個三棱錐的體積都為.
              ∴此多面體的體積.
              2008年12.(本小題滿分15分)
              如圖3所示,在三棱柱中,底面,
              .
              (1)若點分別為棱的中點,求證:平面;
              (2)請根據下列要求設計切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側棱的平面去截此三棱柱,切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體.簡單地寫出一種切割和拼接方法,

              并寫出拼接后的長方體的表面積(不必計算過程).








              圖3


              12.(本小題滿分15分)
              (1)證法一:以點為原點,分別以所在直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,依題意得、
              .
              ∴,,.


              ∴.
              ∴.
              平面,平面,.
              ∴平面.
              證法二:連結,
              底面,平面,
              ∴.
              ,分別為棱的中點,
              ∴.

              ∴Rt△Rt△.
              ∴.
              ,
              ∴.
              ∴.



              ∴平面.
              ∴.

              ∴平面.
              平面,
              ∴.
              同理可證.

              ∴平面.

              (2)切割拼接方法一:如圖甲所示,分別以的中點所確定的平面為截面,把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體(該長方體的一個底面為長方形如圖①所示,),此時所拼接成的長方體的表面積為16.







              圖甲圖①

              切割拼接方法二:如圖乙所示,設的中點分別為,以四點所確定的平面為截面,把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體(該長方體的一個底面為正方形),此時所拼接成的長方體的表面積為.








              圖乙圖②
              200912.(本小題滿分15分)
              如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高,E、F分別是AC、BC邊的中點.現將△ABC沿CD折疊成如圖2所示的直二面角A—DC—B.
              (1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;
              (2)求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比.











              12.解:(1)如圖所示,∵E、F分別為AC、BC的中點,
              ∴.
              ∵面DEF,面DEF,
              ∴面.
              (2)以DA,DB,DC為棱補成一個長方體,則四面體
              的外接球即為長方體的外接球.
              設球的半徑為R,則,
              ∴.
              于是球的體積.
              又,,


              1012.(本小題滿分15分)
              如圖,已知二面角的平面角為,在半平面內有一個半圓,其直徑在上,
              是這個半圓上任一點(除、外),直線、與另一個半平面所成的
              角分別為、.試證明為定值.













              12.(本小題滿分15分)
              證明:過作,為垂足,在內,作,為垂足,
              連接,則.
              ∵,
              ∴.
              ∵平面,平面,
              ∴平面.
              ∵平面,
              ∴.
              ∴是二面角的平面角.
              ∴.
              ∴.
              在Rt中,.
              在Rt和Rt中,.



              .





              1112.(本小題滿分15分)
              如圖,已知多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
              AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F為CE的中點.
              (1)求證BF⊥平面CDE;
              (2)求多面體ABCDE的體積;
              (3)求平面BCE和平面ACD所成的銳二面角的大小.








              12.(1)證明:取CD的中點G,連AG,FG,
              則有.∴AGBF.
              又△ACD為正三形,∴AG⊥CD.
              又DE⊥平面ACD,
              ∴FG⊥平面ACD,
              ∴FG⊥AG.
              ∴AG⊥平面CDE.
              ∴BF⊥平面CED.
              (2)解:



              (3)解:由(1)知,
              延長DA,EB交于點P,連PC,
              則可證得A,B分別為PD,PE的中點,
              ∴PC∥BF∥AG,
              ∴PC⊥平面CDE.
              ∴∠DCE為平面BCE和平面ACD所成二面角的平面角.
              又∠DCE=45°,
              所以平面BCE和平面ACD所成的銳二面角為45°.

              12.(1)證明:取CD的中點G,連AG,FG,
              則有.∴AGBF.
              又△ACD為正三形,∴AG⊥CD.
              又DE⊥平面ACD,
              ∴FG⊥平面ACD,
              ∴FG⊥AG.
              ∴AG⊥平面CDE.
              ∴BF⊥平面CED.
              (2)解:



              (3)解:由(1)知,
              延長DA,EB交于點P,連PC,
              則可證得A,B分別為PD,PE的中點,
              ∴PC∥BF∥AG,
              ∴PC⊥平面CDE.
              ∴∠DCE為平面BCE和平面ACD所成二面角的平面角.
              又∠DCE=45°,
              所以平面BCE和平面ACD所成的銳二面角為45°.

              12
              12.(本小題滿分15分)
              如圖,在三棱錐中,平面,,,
              ,分別是的中點.
              (1)求證:;
              (2)求二面角的余弦值;
              (3)求點到平面的距離.





              12.(1)證明:取的中點,連接.則,
              又平面,
              ∴平面.
              ∵平面,∴.
              ∵分別為的中點,
              ∴.
              ∵,即,
              ∴.
              ∵平面平面
              ∴平面.
              ∵平面,
              ∴.
              解:過作且與的延長線相交于點,連接.由三垂線定理知,
              是二面角的平面角,也是二面角的平面角的補角,
              在Rt△中,,.
              在Rt△中,.
              在Rt△中,,.
              ∴二面角的余弦值為.
              解:過點作于,由(2)知平面平面,且平面平面,
              ∴平面.
              ∴的長為點到平面的距離.
              在Rt△中,.
              ∵點是的中點,∴點到平面的距離是點到平面的距離的倍.
              ∵,∴平面.
              ∴點到平面的距離等于點到平面的距離.
              ∴點到平面的距離是.
              13
              12.(本小題滿分15分)
              如圖,己知△中,,,平面,,、分別是、上的動點,且。
              (1)求證:不論為何值,總有平面⊥平面;
              (2)若平面與平面所成的二面角的大小為,求的值.

              12.(1)證明:因為AB⊥平面ABCD,所以AB⊥CD。
              在△BCD中,,所以BC⊥CD。
              因為AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC。………………………………………………3分
              在△ACD中,E、F分別是AC、AD上的動點,且。
              所以EF∥CD,所以EF⊥平面ABC。
              因為EF平面BEF,所以平面BEF⊥平面ABC。……………………………………6分
              (2)解:作BQ∥CD,
              由(1)知CD⊥平面ABC,所以BQ⊥平面ABC。
              所以BQ⊥BC,BQ⊥BE。
              因為BQ與CD、EF共面,平面BEF∩平面BCD=BQ,
              所以∠CBE為平面BEF與平面BCD所成的二面角的平面角為60°。………………8分
              在?ABC內作EM⊥BC交BC于點M,
              由cos60°=,
              所以2BM=BE。 ①……………………………9分
              又,所以=1-。
              由=1-,
              在?BCD中,∠BCD=900,BC=CD=1,
              所以BD=,又在Rt?ABD中,∠ADB=600,
              所以AB=,所以,EM=(1-)。 ②……………………………11分
              又=,且BC=1,所以BM=。③……………………………12分
              在Rt?中,由①②③得42=6(1-)2+2。……………………………13分
              即2-4+2=0,解得=2-或=2+。………………………………14分
              因為,所以=2-。……………………………………………………15分
                  

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