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              【2009第26屆】全國中學生物理競賽復賽試題及答案 Word版含答案  共用

              • 文件大小:269 KB
              • 資料類型:試題 資料編號:998877
              • 感謝網友:shuxuea上傳  審核人:shulihua
              • 上傳時間:2014年09月10日 23時25分00秒
              • 更新時間:2014年09月10日 23時25分00秒
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              文件簡介::
              第26屆全國中學生物理競賽復賽試卷
              一、填空(問答)題(每題5分,共25分)
              1.有人設想了一種靜電場:電場的方向都垂直于紙面并指向紙里,電場強度的大小自左向右逐漸增大,如圖所示。這種分布的靜電場是否可能存在?試述理由。


              2.海爾-波普彗星軌道是長軸非常大的橢圓,近日點到太陽中心的距離為0.914天文單位(1天文單位等于地日間的平均距離),則其近日點速率的上限與地球公轉(軌道可視為圓周)速率之比約為(保留2位有效數字)。
              3.用測電筆接觸市電相線,即使赤腳站在地上也不會觸電,原因是
              ;另一方面,即使穿絕緣性能良好的電工鞋操作,測電筆仍會發亮,原因是

              4.在圖示的復雜網絡中,所有電源的電動勢均為E0,所有電阻器的電阻值均為R0,所有電容器的電容均為C0,則圖示電容器A極板上的電荷量為。
              5.如圖,給靜止在水平粗糙地面上的木塊一初速度,使之開始運動。一學生利用角動量定理來考察此木塊以后的運動過程:“把參考點設于如圖所示的地面上一點O,此時摩擦力f的力矩為0,從而地面木塊的角動量將守恒,這樣木塊將不減速而作勻速運動。”請指出上述推理的錯誤,并給出正確的解釋:


              二、(20分)圖示正方形輕質剛性水平桌面由四條完全相同的輕質細桌腿1、2、3、4支撐于桌角A、B、C、D處,桌腿豎直立在水平粗糙剛性地面上。已知桌腿受力后將產生彈性微小形變。現于桌面中心點O至角A的連線OA上某點P施加一豎直向下的力F,令,求桌面對桌腿1的壓力F1。
              三、(15分)
              1.一質量為m的小球與一勁度系數為k的彈簧相連組成一體系,置于光滑水平桌面上,彈簧的另一端與固定墻面相連,小球做一維自由振動。試問在一沿此彈簧長度方向以速度u作勻速運動的參考系里觀察,此體系的機械能是否守恒,并說明理由。



              2.若不考慮太陽和其他星體的作用,則地球-月球系統可看成孤立系統。若把地球和月球都看作是質量均勻分布的球體,它們的質量分別為M和m,月心-地心間的距離為R,萬有引力恒量為G。學生甲以地心為參考系,利用牛頓第二定律和萬有引力定律,得到月球相對于地心參考系的加速度為;學生乙以月心為參考系,同樣利用牛頓第二定律和萬有引力定律,得到地球相對于月心參考系的加速度為。這二位學生求出的地-月間的相對加速度明顯矛盾,請指出其中的錯誤,并分別以地心參考系(以地心速度作平動的參考系)和月心參考系(以月心速度作平動的參考系)求出正確結果。
              四、(20分)火箭通過高速噴射燃氣產生推力。設溫度T1、壓強p1的熾熱高壓氣體在燃燒室內源源不斷生成,并通過管道由狹窄的噴氣口排入氣壓p2的環境。假設燃氣可視為理想氣體,其摩爾質量為μ,每摩爾燃氣的內能為u=cVT(cV是常量,T為燃氣的絕對溫度)。在快速流動過程中,對管道內任意處的兩個非常靠近的橫截面間的氣體,可以認為它與周圍沒有熱交換,但其內部則達到平衡狀態,且有均勻的壓強p、溫度T和密度ρ,它們的數值隨著流動而不斷變化,并滿足絕熱方程(恒量),式中R為普適氣體常量,求噴氣口處氣體的溫度與相對火箭的噴射速率。
              五、(20分)內半徑為R的直立圓柱器皿內盛水銀,繞圓柱軸線勻速旋轉(水銀不溢,皿底不露),穩定后的液面為旋轉拋物面。若取坐標原點在拋物面的最低點,縱坐標軸z與圓柱器皿的軸線重合,橫坐標軸r與z軸垂直,則液面的方程為,式中ω為旋轉角速度,g為重力加速度(當代已使用大面積的此類旋轉水銀液面作反射式天文望遠鏡)。
              觀察者的眼睛位于拋物面最低點正上方某處,保持位置不變,然后使容器停轉,待液面靜止后,發現與穩定旋轉時相比,看到的眼睛的像的大小、正倒都無變化。求人眼位置至穩定旋轉水銀面最低點的距離。
              六、(20分)兩慣性系S′與S初始時刻完全重合,前者相對后者沿z軸正向以速度v高速運動。作為光源的自由質點靜止于S′系中,以恒定功率P向四周輻射(各向同性)光子。在S系中觀察,輻射偏向于光源前部(即所謂的前燈效應)。
              1.在S系中觀察,S′系中向前的那一半輻射將集中于光源前部以x軸為軸線的圓錐內。求該圓錐的半頂角α。已知相對論速度變換關系為

              式中ux與ux′分別為S與S′系中測得的速度x分量,c為光速。
              2.求S系中測得的單位時間內光源輻射的全部光子的總動量與總能量。
              七、(20分)
              1.設想光子能量為E的單色光垂直入射到質量為M、以速度V沿光入射方向運動的理想反射鏡(無吸收)上,試用光子與鏡子碰撞的觀點確定反射光的光子能量E′。可取以下近似:,其中c為光速。
              2.若在上述問題中單色光的強度為Φ,試求反射光的強度Φ′(可以近似認為光子撞擊鏡子后,鏡子的速度仍為V)。光的強度定義為單位時間內通過垂直于光傳播方向單位面積的光子的能量。
              八、(20分)惰性氣體分子為單原子分子,在自由原子情形下,其電子電荷分布是球對稱的。負電荷中心與原子核重合。但如兩個原子接近,則彼此能因靜電作用產生極化(正負電荷中心不重合),從而導致有相互作用力,這稱為范德瓦爾斯相互作用。下面我們采用一種簡化模型來研究此問題。
              當負電中心與原子核不重合時,若以x表示負電中心相對正電荷(原子核)的位移,當x為正時,負電中心在正電荷的右側,當x為負時,負電中心在正電荷的左側,如圖1所示。這時,原子核的正電荷對荷外負電荷的作用力f相當于一個勁度系數為k的彈簧的彈性力,即f=-kx,力的方向指向原子核,核外負電荷的質量全部集中在負電中心,此原子可用一彈簧振子來模擬。
              今有兩個相同的惰性氣體原子,它們的原子核固定,相距為R,原子核正電荷的電荷量為q,核外負電荷的質量為m。因原子間的靜電相互作用,負電中心相對各自原子核的位移分別為x1和x2,且|x1|和|x2|都遠小于R,如圖2所示。此時每個原子的負電荷除受到自己核的正電荷作用外,還受到另一原子的正、負電荷的作用。
              眾所周知,孤立諧振子的能量E=mv2/2+kx2/2是守恒的,式中v為質量m的振子運動的速度,x為振子相對平衡位置的位移。量子力學證明,在絕對零度時,諧振子的能量為hω/2,稱為零點振動能,,h為普朗克常量,為振子的固有角頻率。試計算在絕對零度時上述兩個有范德瓦爾斯相互作用的惰性氣體原子構成的體系的能量,與兩個相距足夠遠的(可視為孤立的、沒有范德瓦爾斯相互作用的)惰性氣體原子的能量差,并從結果判定范德瓦爾斯相互作用是吸引還是排斥。可利用當|x|<<1時的近似式(1+x)1/2≈1+x/2-x2/8,(1+x)-1≈1-x+x2。





              第26屆全國中學生物理競賽復賽試卷
              參考解答與評分標準

              一、填空(問答)題.每小題5分,共25分.按各小題的答案和評分標準評分.
              1.答案與評分標淮:
              這種分布的靜電場不可能存在.因為靜電場是保守場,電荷沿任意閉合路徑一周電場力做的功等于0,但在這種電場中,電荷可以沿某一閉合路徑移動一周而電場力做功不為0.(5分)
              2.答案與評分標淮:
              1.5.(5分)
              3.答案與評分標淮:
              測電筆內阻很大,通過與之串聯的人體上的電流(或加在人體上的電壓)在安全范圍內;(2分)
              市電為交流電,而電工鞋相當于一電容器,串聯在電路中仍允許交流電通過.(3分)
              4.答案與評分標淮:
              .(5分)
              5.答案與評分標淮:
              該學生未考慮豎直方向木塊所受的支持力和重力的力矩.僅根據摩擦力的力矩為零便推出木塊的角動量應守恒,這樣推理本身就不正確.事實上,此時支持力合力的作用線在重力作用線的右側,支持力與重力的合力矩不為0,木塊的角動量不守恒,與木塊作減速運動不矛盾.(5分)

              二、
              參考解答:
              設桌面對四條腿的作用力皆為壓力,分別為、、、.因輕質剛性的桌面處在平衡狀態,可推得

              由于對稱性,

              考察對桌面對角線BD的力矩,由力矩平衡條件可得

              根據題意,,c=0對應于力F的作用點在O點,c=1對應于F作用點在A點.
              設桌腿的勁度系數為,在力F的作用下,腿1的形變為,腿2和4的形變均為,腿3的形變為.依題意,桌面上四個角在同一平面上,因此滿足,即

              由、、、式,可得


              當時,.,表示腿3無形變;,表示腿3受到桌面的作用力為拉力,這是不可能的,故應視.此時式(3)式仍成立.由式,可得
              .(7)
              綜合以上討論得
              ,.(8)
              ,.(9)
              評分標準:本題20分.
              (1)式1分,(2)式1分,(3)式2分,(4)式7分,得到由(8)式表示的結果得4分,得到由(9)式表示的結果得5分.

              三、
              參考解答:
              1.否.原因是墻壁對于該體系而言是外界,墻壁對彈簧有作用力,在運動參考系里此力的作用點有位移,因而要對體系做功,從而會改變這一體系的機械能.
              2.因地球受月球的引力作用,月球受地球的引力作用,它們相對慣性系都有加速度,故它們都不是慣性參考系.相對非慣性參考系,牛頓第二定律不成立.如果要在非慣性參考系中應用牛頓第二定律,必須引入相應的慣性力;而這兩位學生又都未引入慣性力,所以他們得到的結果原則上都是錯誤的.
              以地心為參考系來求月球的加速度.地心系是非慣性系,設地球相對慣性系的加速度的大小為,則由萬有引力定律和牛頓第二定律有

              加速度的方向指向月球.相對地心參考系,月球受到慣性力作用,其大小

              方向指向地球,與月球受到的萬有引力的方向相同.若月球相對地心系的加速度為,則有

              由、、三式,得

              加速度的方向指向地球.
              以月心為參考系來求地球的加速度.月心系也是非慣性系,設月球相對慣性系的加速度的大小為,則由萬有引力定律和牛頓第二定律有

              加速度的方向指向地球.相對月心參考系,地球受到慣性力作用,慣性力的大小

              方向指向月球,與地球受到的萬有引力的方向相同.若地球相對月心系的加速度為,則有

              由(5)、(6)、(7)三式得

              加速度的方向指向月球.式與式表明,地球相對月心系的加速度與月球相對地心系的加速度大小相等(方向相反),與運動的相對性一致.
              評分標準:本題15分.
              第1小問5分.
              第2小問10分.指出不正確并說明理由,占2分;(1)至(8)式,每式1分.

              四、
              參考解答:
              于火箭燃燒室出口處與噴氣口各取截面與,它們的面積分別為和,由題意,,以其間管道內的氣體為研究對象,如圖所示.設經過很短時間,這部分氣體流至截面與之間,間、間的微小體積分別為、,兩處氣體密度為、,流速為、.氣流達到穩恒時,內部一切物理量分布只依賴于位置,與時間無關.由此可知,盡管間氣體更換,但總的質量與能量不變.
              先按絕熱近似求噴氣口的氣體溫度.質量守恒給出

              即氣體可視為由氣體絕熱移動所得.事實上,因氣流穩恒,氣體流出噴口時將再現氣體狀態.對質量的氣體,利用理想氣體的狀態方程

              和絕熱過程方程

              可得

              再通過能量守恒求氣體的噴射速率.由式及,可得

              再利用(1)、式,知,因,,故

              整個體系經時間的總能量(包括宏觀流動機械能與微觀熱運動內能)增量為部分與部分的能量差.由于重力勢能變化可忽略,在理想氣體近似下并考慮到式,有

              體系移動過程中,外界做的總功為

              根據能量守恒定律,絕熱過程滿足



              其中利用了、兩式.
              評分標準:本題20分.
              (2)式1分,(3)式2分,(4)式3分,(6)式1分,(7)式6分,(8)式4分,(9)式1分,(10)式2分.

              五、
              參考解答:
              旋轉拋物面對平行于對稱軸的光線嚴格聚焦,此拋物凹面鏡的焦距為

              由式,旋轉拋物面方程可表示為

              停轉后液面水平靜止.由液體不可壓縮性,知液面上升.以下求拋物液面最低點上升的高度.
              拋物液面最低點以上的水銀,在半徑、高的圓柱形中占據體積為的部分,即附圖中左圖陰影部分繞軸線旋轉所得的回轉體;其余體積為的部分無水銀.體在高度處的水平截面為圓環,利用拋物面方程,得處圓環面積

              將體倒置,得附圖中右圖陰影部分繞軸線旋轉所得的回轉體,相應拋物面方程變為

              其高度處的水平截面為圓面,面積為

              由此可知

              即停轉后拋物液面最低點上升

              因拋物鏡在其軸線附近的一塊小面積可視為凹球面鏡,拋物鏡的焦點就是球面鏡的焦點,故可用球面鏡的公式來處理問題.兩次觀察所見到的眼睛的像分別經凹面鏡與平面鏡反射而成,而先后看到的像的大小、正倒無變化,這就要求兩像對眼睛所張的視角相同.設眼長為.凹面鏡成像時,物距即所求距離,像距v與像長分別為


              平面鏡成像時,由于拋物液面最低點上升,物距為

              像距與像長分別為


              兩像視角相同要求



              此處利用了(8)—(12)諸式.由(14)式可解得所求距離

              評分標準:本題20分.
              (1)式1分,(7)式4分,(8)、(9)式各2分,(10)、(11)、(12)式各1分,(13)式6分,(15)式2分.

              六、
              參考解答:
              1.先求兩慣性系中光子速度方向的變換關系.根據光速不變原理,兩系中光速的大小都是.以和分別表示光子速度方向在和系中與和軸的夾角,則光速的分量為


              再利用相對論速度變換關系,得

              系中光源各向同性輻射,表明有一半輻射分布于的方向角范圍內,系中,此范圍對應.由上式求得

              可以看出,光源的速度v越大,圓錐的頂角越小.
              2.系中,質點靜止,在時間內輻射光子的能量來自質點靜能的減少,即

              式中為時間內質點減少的質量.系中,質點以速度v勻速運動,由于輻射,其動質量減少,故動量與能量亦減少.轉化為光子的總動量為,即

              轉化為光子的總能量為,即

              系中光源靜止,測得的輻射時間為本征時,在系中膨脹為

              由以上各式可得在S系中單位時間內輻射的全部光子的總動量與總能量分別為


              評分標準:本題20分.
              第1小問7分.(3)式4分,(4)式3分.
              第2小問13分.(5)、(6)、(7)式各2分,(8)式3分,(9)、(10)式各2分.

              七、
              參考解答:
              1.光子與反射鏡碰撞過程中的動量和能量守恒定律表現為


              其中為碰撞后反射鏡的速度.從上兩式消去,得


              當時,,可得

              2.考察時刻位于垂直于光傳播方向的截面A左側的長為光在1s時間內所傳播的距離c(1s、底面積為單位面積柱體內的光子,如圖1所示.經過1s時間,它們全部通過所考察的截面.若單位體積中的光子數為,根據光強的定義,入射光的強度
              (6)
              若A處固定一反射鏡,則柱體的底面S2處的光子在時刻t到達位于A處的反射鏡便立即被反射,以光速c向左移動;當柱體的底面S1在t+1s到達A處被反射鏡反射時,這柱體的底面S2已到達A左邊距離A為c(1s處,所有反射光的光子仍分布在長為c(1s、截面積為單位面積的柱體內,所以反射光的強度與入射光的強度相等.
              如果反射鏡不固定,而是以恒定的速度V向右移動,則在時刻t+1s柱體的底面S1到達A處時,反射鏡已移到A右邊距離為V(1s的N處,這時底面S2移到A左側離A的距離為c(1s處,如圖2中a所示.設再經過時間,S1與鏡面相遇,但這時鏡面己來到處,因為在時間內,鏡面又移過了一段距離,即在時刻,底面S1才到達反射鏡被反射.亦即原在S1處的光子須多行進cΔt的距離才能被反射.因此


              (7)
              而這時,底面S2又向左移了一段距離.這樣反射光的光子將分布在長為的柱體內.因反射不改變光子總數,設為反射光單位體積中的光子數,有

              故有
              .(8)
              根據光強度的定義,反射光的強度
              .(9)
              由(4)、(8)、(9)各式得
              .(10)
              注意到有
              .(11)
              評分標準:本題20分.
              第1小問9分.(1)、(2)式各2分,(4)或(5)式5分.
              第2小問11分.(8)式5分,(9)式3分,(10)或(11)式3分.

              八、
              參考解答:
              兩個相距R的惰性氣體原子組成體系的能量包括以下幾部分:每個原子的負電中心振動的動能,每個原子的負電中心因受各自原子核“彈性力”作用的彈性勢能,一個原子的正、負電荷與另一原子的正、負電荷的靜電相互作用能.以和分別表示兩個原子的負電中心振動速度,和分別表示兩個原子的負電中心相對各自原子核的位移,則體系的能量

              式中U為靜電相互作用能
              ,(2)
              為靜電力常量.因,,,利用,可將(2)式化為
              ,(3)
              因此體系總能量可近似表為
              .(4)
              注意到和,可將(4)式改寫為
              .(5)
              式中,
              ,(6)
              ,(7)
              ,(8)
              .(9)
              (5)式表明體系的能量相當于兩個獨立諧振子的能量和,而這兩個振子的固有角頻率分別為
              ,(10)
              .(11)
              在絕對零度,零點能為
              ,(12)
              兩個孤立惰性氣體原子在絕對零度的能量分別表示為和,有
              ,(13)
              式中
              (14)
              為孤立振子的固有角頻率.由此得絕對零度時,所考察的兩個惰性氣體原子組成的體系的能量與兩個孤立惰性氣體原子能量和的差為
              .(15)
              利用,可得
              .(16)
              ,表明范德瓦爾斯相互作用為相互吸引.
              評分標準:本題20分.
              (1)式1分,(2)式3分,(4)式3分,(10)、(11)式各4分,(12)式2分,(16)式2分,末句說明占1分.




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