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              2010年江西省新余四中“元旦杯”高二年級數學競賽試題及答案  共用

              • 文件大小:353 KB
              • 資料類型:試題 資料編號:995841
              • 感謝網友:shuxuea上傳  審核人:shulihua
              • 上傳時間:2014年09月07日 11時45分00秒
              • 更新時間:2014年09月07日 11時45分00秒
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              文件簡介::
              新余四中2010年第六屆“元旦杯”競賽
              高二數學試題
              本試卷滿分:100分,考試時間:120分鐘,命題人:劉金華
              一、填空題:(本大題共10小題,每小題5分)
              1.已知函數,其中都是非零實數,且滿足,則=。
              2.已知是虛數單位,則=
              3.刪去正整數數列1,2,3,…中的所有完全平方數,得到一個新數列。這個新數列的第2010項是
              4.若的展開式為,則
              =
              5.方程正整數解的個數為(請用數字作答)
              6.設M是集合的子集,且M中每一個自然數(元素)僅含有一個數字0,則集合M所含元素最多有
              7.已知是方程的根,是方程的根,那么的值為
              8.若2010=,其中為兩兩不等的非負整數,令x=sin,y=cos,z=tan,則x,y,z的大小關系是
              9.將自然數排成如圖所示的螺旋狀,
              第一個拐彎處的數是2,第二個拐彎
              處的數是3。則第2010個拐彎處的數

              10.設集合,現對M的任一非空子集X,令表示X中最大數與最小值之和,那么,所有這樣的的算術平均值為。
              二、解答題:解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
              11.(本題滿分10分)已知復數。
              (1)求證:;
              (2)求:





















              12,(本題滿分10分)已知求證:





































              13.(本題滿分10分)已知定義在R上的函數f(x)滿足:,且,求f(2010)。

























              14.(本題滿分10分)試對下式化簡求值:
              ++…+





















              15.(本題滿分10分)在軸的正方向上,從左向右依次取點列以及在第一象限內的拋物線上從左向右依次取點列,使都是等邊三角形,其中是坐標原點,求第2010個等邊三角形的邊長。























              參考答案
              1.∵,
              ∴,∴,∴,

              2.原式=
              3.∵∴2024是第2025-45=1980個數,
              ∵2010-1980=30∴第2010項是2025+30=2055
              4.∵,又∴
              5.用隔板法可知
              6.∵符合條件的2位數有,
              符合條件的3位數有
              符合條件的4位數有,
              共有9+162+243=414
              7.由題知為與的交點A的橫坐標,
              是與的交點B的橫坐標
              ∴為AB中點的橫坐標,又∵AB的中點為與的交點
              ∴∴
              8.∵
              ∴∴
              9.
              10.將M中非空子集進行配對,對每個非空子集,令,
              則當也是M的非空子集
              且時,有,
              于是所有非空子集除外分為兩類:
              (1)(2)
              對于(1)中的一對與,有,對于(2)中的,必有
              由此可見,所有的算術平均數為2011
              11.解法一:(1)證明:∵


              (2)由(1)知∴,令
              ∴,


              解法2:∴


              12.證法1:∵


              證法2:不妨設
              ,∴,
              由排序不等式可得


              13.易知∴

              ∴∴
              14.解法1:原式



              解法2:一般地,原式中等項具有如下形式:
              ()
              記,則原式=
              當時,
              當時,
              可見存在遞推關系:

              原式
              15.解法1:設第n個等邊三角形的邊長為,則第n個等邊三角形的拋物線上的頂點的坐標為,又∵第n個等邊三角形的高為
              ∴即

              ∵∴∵∴
              ∴∴第2010個等邊三角形的邊長為2010
              解法2:設第個等邊三角形的邊長為、的坐標為
              則與有公共點

              ,以下同解法1
                  

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