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              【版權合作資料】04高二數學競賽輔導材料-圓錐曲線  共用

              • 文件大小:354 KB
              • 資料類型:試題 資料編號:989763
              • 感謝網友:shuxuea上傳  審核人:shulihua
              • 上傳時間:2014年09月01日 00時08分00秒
              • 更新時間:2014年09月01日 00時08分00秒
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              文件簡介::
              高二數學競賽輔導材料4——圓錐曲線
              作者:廣東省廣州市從化區(縣)第二中學網站注冊名為:ttggtt
              本資料由作者授權www.nc535.com唯一網絡使用,任何會員均可以自由使用于日常教學,但嚴禁以任何方式上傳給其他網站或應用于商業用途,如違反者本站追擊相關人員責任。
              1(06)如圖,將一塊直角三角形板放置于平面直角坐標系中,已知,.點是三角板內一點,現因三角板中陰影部分(即△POB)受到損壞,要把損壞部分鋸掉,可用經過點的任一直線將三角板鋸成,設直線的斜率為.
              (Ⅰ)試用表示的面積,并指出的取值范圍;
              (Ⅱ)試求的最大值.














              2.(07)如圖,已知拋物線與圓相交于、兩點,且(為坐標原點),直線與圓相切,切點在劣弧(含A、B兩點)上,且與拋物線相交于、兩點,是、兩點到拋物線的焦點的距離之和.
              (Ⅰ)求的值;
              (Ⅱ)求的最大值,并求取得最大值時直線的方程.















              3.(08)已知點,是橢圓:上不同的兩點,線段的中點為.
              (1)求直線的方程;
              (2)若線段的垂直平分線與橢圓交于點、,試問四點、、、是否在同一個圓
              上,若是,求出該圓的方程;若不是,請說明理由.
















              4.(09)已知直線與橢圓相交于A、B兩點,且(其中O為坐標原點).(1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
              (2)求證:不論如何變化,橢圓恒過第一象限內的一個定點P,并求點P的坐標.















              5.(09)如圖,矩形中,,,現以矩形的邊為軸,的中點
              為原點建立直角坐標系,是軸上方一點,使得、與線段分別交于點、,
              且成等比數列.(1)求動點的軌跡方程;
              (2)求動點到直線距離
              的最大值及取得最大值時點的坐標.














              6.(11)已知橢圓()的右焦點為,離心率為.
              (1)若,求橢圓的方程;
              (2)設直線與橢圓相交于,兩點,分別為線段的中點.若坐標原點在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.








              7.(12)已知平面內的動點到點的距離比它到直線的距離小,記動點的軌跡為
              曲線.(1)求曲線的方程;
              (2)若直線與曲線相交于、兩點,問在曲線上是否存在點,使△為等邊
              三角形?若存在,求點的坐標;若不存在,說明理由.












              8.(13)已知,點在軸上,點在軸的正半軸上,點在直線上,且滿足,。
              (1)當點在軸上移動時,求點的軌跡的方程;
              (2)設為軌跡上兩點,,,,若存在實數,使,且,求的值。

















              (13)(06)
              如圖,將一塊直角三角形板放置于平面直角坐標系中,已知,.點是三角板內一點,現因三角板中陰影部分(即△POB)受到損壞,要把損壞部分鋸掉,可用經過點的任一直線將三角板鋸成,設直線的斜率為.
              (Ⅰ)試用表示的面積,并指出的取值范圍;
              (Ⅱ)試求的最大值.


              (13)(本小題滿分20分)解:(Ⅰ):, :,
              解得,.于是,.
              所以.
              易知,故,.
              (Ⅱ),所以當或時,取得極值.
              因為當時,,故在上是減函數.
              所以當時,取得最大值.
              2.(07)如圖,已知拋物線與圓相交于、兩點,且(為坐標原點),直線與圓相切,切點在劣弧(含A、B兩點)上,且與拋物線相交于、兩點,是、兩點到拋物線的焦點的距離之和.
              (Ⅰ)求的值;
              (Ⅱ)求的最大值,并求取得最大值時直線的方程.




              14.(Ⅰ)解:設點的坐標為,
              由于拋物線和圓關于軸對稱,故點的坐標為.
              ,,即.
              點在拋物線上,.,即.
              ..點的坐標為.
              點在圓上,,又,解得.
              (Ⅱ)解法1:設直線的方程為:,因為是圓O的切線,則有,
              又,則.
              即的方程為:.
              聯立即.
              設,則.
              如圖,設拋物線的焦點為,準線為,作,垂足分別為.
              由拋物線的定義有:

              令,則.∴.
              又∵,∴.
              ∴當時,有最大值11.
              當時,,故直線的方程為.
              解法2:設直線與圓相切的切點坐標為,則切線的方程為.
              由消去,得.
              設,則.
              如圖,設拋物線的焦點為,準線為,作,垂足分別為.
              由拋物線的定義有:

              ,.
              ,當時,有最大值11.
              當時,,故直線的方程為.
              3.(08)已知點,是橢圓:上不同的兩點,線段的中點為.
              (1)求直線的方程;
              (2)若線段的垂直平分線與橢圓交于點、,試問四點、、、是否在同一個圓
              上,若是,求出該圓的方程;若不是,請說明理由.
              3.(本小題滿分20分)
              解一:(1)點,是橢圓上不同的兩點,∴,.
              以上兩式相減得:,
              即,,
              ∵線段的中點為,∴.∴,
              當,由上式知,則重合,與已知矛盾,因此,
              ∴.∴直線的方程為,即.
              由消去,得,解得或.
              ∴所求直線的方程為.
              解二:當直線的不存在時,的中點在軸上,不符合題意.
              故可設直線的方程為,.
              由消去,得(*)
              .的中點為,..解得.
              此時方程(*)為,其判別式.∴所求直線的方程為.
              (2)由于直線的方程為,
              則線段的垂直平分線的方程為,即.
              由得,
              由消去得,設
              則.
              ∴線段的中點的橫坐標為,縱坐標.
              ∴.
              ∴.
              ∵,

              ∴四點、、、在同一個圓上,此圓的圓心為點,半徑為,
              其方程為.



              4.(09)已知直線與橢圓相交于A、B兩點,且
              (1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
              (2)求證:不論如何變化,橢圓恒過第一象限內的一個定點P,并求點P的坐標.
              4.(1)解:由

              設,∴

              ,.
              .即.
              ,∴.故橢圓的方程為.
              (2)證明:由(1)有,∴,即.
              則不論a,b如何變化,橢圓恒過第一象限內的定點P.
              5.(09)如圖,矩形中,,,現以矩形的邊為軸,的中點
              為原點建立直角坐標系,是軸上方一點,使得、與線段分別交于點、,
              且成等比數列.
              (1)求動點的軌跡方程;
              (2)求動點到直線距離
              的最大值及取得最大值時點的坐標.
              13.(本小題滿分20分)
              解:(1)設點的坐標為,過作交的延長線于,交的延
              長線于.
              在中,,得,得.
              在中,,得.
              同理可得.
              ∵成等比數列,
              ∴.
              ∴.
              化簡得.
              ∴動點的軌跡方程為.
              (2)由圖易知當與直線平行的直線與半橢圓相切于點時,點到直線距離的最大.
              設與直線平行的直線方程為,代入,
              得,①
              由,
              解得,由,得.
              故點到直線距離的最大值為.
              把代入①式,可解得點的坐標為.

              6.(11)已知橢圓()的右焦點為,離心率為.
              (1)若,求橢圓的方程;
              (2)設直線與橢圓相交于,兩點,分別為線段的中點.若坐標原點在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.
              13.解:(1)由題意得,得.結合,解得,.
              所以,橢圓的方程為.
              (2)由得.
              設,所以,
              進而.
              因為點、的坐標分別為、,
              依題意,所以,即.
              即,即,
              因為,所以.
              將其整理為.
              因為,所以,.
              所以,即.

              7.(12)已知平面內的動點到點的距離比它到直線的距離小,記動點的軌跡為
              曲線.
              (1)求曲線的方程;
              (2)若直線與曲線相交于、兩點,問在曲線上是否存在點,使△為等邊
              三角形?若存在,求點的坐標;若不存在,說明理由.
              7.(1)解法1:∵點到點的距離比到直線的距離小,
              ∴點到點的距離與它到直線的距離相等。
              ∴點的軌跡是以點為焦點,直線為準線的拋物線.
              ∴曲線的方程為.
              解法2:設點的坐標為,依題意得,.
              當時,得,
              化簡得.
              當時,得得
              化簡得,得,矛盾.
              ∴曲線的方程為.
              (2)解:設、的坐標分別為,線段的中點為.
              由消去,得.∴.
              ∴,.∴點.
              .
              假設曲線上存在點,使△為等邊三角形,設點,
              由,得,即.
              又,得.
              由或解得或
              ∴點的坐標為或.∵點或不在曲線上,
              ∴曲線上不存在點,使△為等邊三角形.
              8.(13)已知,點在軸上,點在軸的正半軸上,點在直線上,且滿足,。
              (1)當點在軸上移動時,求點的軌跡的方程;
              (2)設為軌跡上兩點,,,,若存在實數,使,且,求的值。
              14.(1)設點,由,得,。…………4分
              由,得。…………………………………………6分
              所以軌跡的方程為.………………………………………………8分
              (2)由(1)知為拋物線:的焦點,為過焦點的直線與的兩個交點.
              ①當直線斜率不存在時,得,,.……………10分
              ②當直線斜率存在且不為0時,設,………………………………11分
              代入得.…………………………………………13分
              設則得。15分
              (或)
              。時。由得。19分
              所以存在實數,使,且。……………………………20分
                  

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              六月丁香