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              【版權合作資料】03高二數學競賽輔導材料-數列  共用

              • 文件大小:323 KB
              • 資料類型:試題 資料編號:989762
              • 感謝網友:shuxuea上傳  審核人:shulihua
              • 上傳時間:2014年09月01日 00時08分00秒
              • 更新時間:2014年09月01日 00時08分00秒
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              文件簡介::
              高二數學競賽輔導材料3——數列
              作者:廣東省廣州市從化區(縣)第二中學網站注冊名為:ttggtt
              本資料由作者授權www.nc535.com唯一網絡使用,任何會員均可以自由使用于日常教學,但嚴禁以任何方式上傳給其他網站或應用于商業用途,如違反者本站追擊相關人員責任。
              1(06)已知數列的各項均為正數,且,當時,都有,記…….(Ⅰ)試求數列的通項公式;
              (Ⅱ)證明:;(Ⅲ)令,……,試比較與的大小.









              2.(07)各項都為正數的數列{an}的前n項和為Sn,已知.
              (Ⅰ)求數列{an}的通項公式;
              (Ⅱ)若數列{bn}滿足,,數列{cn}滿足,數列{cn}的前n項和為Tn,當n為偶數時,求Tn;
              (Ⅲ)同學甲利用第(Ⅱ)問中的Tn設計了一個程序如圖,但同學乙認為這個程序如果被執行會是一個“死循環”(即程序會永遠循環下去,而無法結束).你是否同意同學乙的觀點?請說明理由.

















              3.(08)已知在數列中,,((R,(R且(0,N).
              (1)若數列是等比數列,求與滿足的條件;
              (2)當,時,一個質點在平面直角坐標系內運動,從坐標原點出發,第1次向右運動,第2次向上運動,第3次向左運動,第4次向下運動,以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地運動,設第次運動的位移是,第次運動后,質點到達點,求數列的前項和.












              4.(09)定義一種新運算,滿足(為非零常數).
              (1)對于任意給定的,設,證明:數列是等差數列;
              (2)對于任意給定的,設,證明:數列是等比數列;
              (3)設,試求數列的前項和.
















              5.(10分)已知定義在上的函數滿足:,且對于任意實數,
              總有成立.
              (1)求的值,并證明為偶函數;
              (2)若數列滿足,求數列的通項公式;
              (3)若對于任意非零實數,總有.設有理數滿足,判斷和的大小關系,并證明你的結論.















              6.(11)設無窮等差數列的前項和為,求所有的無窮等差數列,使得對于一切正整數都有成立.













              7.(12)已知數列的前項和為,對任意N都有(為常數,).
              (1)求數列的通項公式;(2)令,若數列為等比數列,求的值;
              (3)在滿足(2)的條件下,記,設數列的前項和為,求證:.












              8.(13)設是數列的前項和,且是和的等差中項.
              (1)求數列的通項公式;
              (2)當(均為正整數)時,求和的所有可能的乘積之和;
              (3)設,求證:.

















              1(06)
              已知數列的各項均為正數,且,當時,都有,記…….(Ⅰ)試求數列的通項公式;
              (Ⅱ)證明:;(Ⅲ)令,……,試比較與的大小.
              (14)(本小題滿分20分)
              解:(Ⅰ)當時,
              各式相加得,
              求得.又當時,滿足上式,故.
              (Ⅱ)

              (Ⅲ),,
              當時,;當時,;
              當時,;猜想當時,.
              以下用數學歸納法證明:
              ①當時,左邊右邊,命題成立.
              ②假設當時,,即.
              當時,
              ,命題成立.
              故當時,.
              綜上所述,當時,,當時,,當時,.
              12.(07)各項都為正數的數列{an}的前n項和為Sn,已知.
              (Ⅰ)求數列{an}的通項公式;
              (Ⅱ)若數列{bn}滿足,,數列{cn}滿足,數列{cn}的前n項和為Tn,當n為偶數時,求Tn;
              (Ⅲ)同學甲利用第(Ⅱ)問中的Tn設計了一個程序如圖,但同學乙認為這個程序如果被執行會是一個“死循環”(即程序會永遠循環下去,而無法結束).你是否同意同學乙的觀點?請說明理由.
              12.解:(Ⅰ)當時,由,解得,
              當時,由,得.
              兩式相減,并利用,求得.
              ∴數列是首項為2,公差為1的等差數列.∴().
              (Ⅱ)∵是首項為2,公比為2的等比數列,∴.
              當n為偶數時,

              (Ⅲ)∵(n為偶數),設(n為偶數),
              ∴.且,
              (利用數列的單調性或函數的單調性判斷)
              ∴,即(n為偶數).因此同學乙的觀點正確.













              (08)已知在數列中,,((R,(R且(0,N).
              (1)若數列是等比數列,求與滿足的條件;
              (2)當,時,一個質點在平面直角坐標系內運動,從坐標原點出發,第1次向右運動,第2次向上運動,第3次向左運動,第4次向下運動,以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地運動,設第次運動的位移是,第次運動后,質點到達點,求數列的前項和.
              14.(本小題滿分20分)
              解:(1),,(0,
              ①當時,,顯然是等比數列;
              ②當時,.
              數列是等比數列,
              ∴,即,化簡得.
              此時有,得,
              由,(0,得(N),則數列是等比數列.
              綜上,與滿足的條件為或().
              (2)當,時,∵,∴,
              依題意得:,,…,
              ∴.
              ∴.∴.


              .
              令①

              ①-②得.
              ∴.∴.
              14.(09)定義一種新運算,滿足(為非零常數).
              (1)對于任意給定的,設,證明:數列是等差數列;
              (2)對于任意給定的,設,證明:數列是等比數列;
              (3)設,試求數列的前項和.
              14.(1)證明:∵(為非零常數),∴.
              ∴.∵為非零常數,∴數列是等差數列.
              (2)解:∵(為非零常數),
              ∴.∴.
              ∵為非零常數,∴數列是等比數列.
              (3)解:∵(為非零常數),
              ∴.
              ,①
              當時,.
              當時,
              .②
              ①②得:,
              ∴,綜上可知,
              15.(10分)
              已知定義在上的函數滿足:,且對于任意實數,
              總有成立.(1)求的值,并證明為偶函數;
              (2)若數列滿足,求數列的通項公式;
              (3)若對于任意非零實數,總有.設有理數滿足,判斷和的大小關系,并證明你的結論.
              15.(本小題滿分20分)
              解:(1)令,,又,.
              令,得,即
              對任意的實數總成立,為偶函數.
              (2)令,得,,.
              .
              令,得,
              .


              是以為首項,以為公比的等比數列.∴.
              (3)結論:.
              證明:∵時,,
              ∴,即.
              ∴令(),故,總有成立.

              則.
              ∴對于,總有成立.
              ∴對于,若,則有成立.
              ∵,所以可設,其中是非負整數,都是正整數,
              則,令,,則.
              ∵,∴,∴,即.
              ∵函數為偶函數,∴.
              ∴.




              14.11)設無窮等差數列的前項和為,求所有的無窮等差數列,使得對于一切正整數都有成立.
              14.解:設無窮等差數列的公差為,
              則,
              所以,
              且.
              因為對于一切正整數都成立,
              所以
              由①,可得或.
              當時,由④得,或,且同時滿足②③.
              當時,由②得,且同時滿足③④.
              當時,由②得,且同時滿足③④.
              綜上所述,共有5個滿足條件的無窮等差數列:
              ①:;
              ②:;
              ③:;
              ④:;
              ⑤:.



              14.12)
              已知數列的前項和為,對任意N都有(為常數,).
              (1)求數列的通項公式;(2)令,若數列為等比數列,求的值;
              (3)在滿足(2)的條件下,記,設數列的前項和為,求證:.
              14.(1)解:當時,,解得,
              當時,,
              整理得.∴數列是首項為,公比為的等比數列.
              ∴.
              (2)解:由(1)得,則.
              ∴.
              由,得,解得.
              又時,,顯然數列為等比數列,故.
              (3)證明:由(2)知,故.

              .
              當時,.
              ∴.∴.

              15.(13)設是數列的前項和,且是和的等差中項.
              (1)求數列的通項公式;
              (2)當(均為正整數)時,求和的所有可能的乘積之和;
              (3)設,求證:.
              15.(1)∵是和的等差中項,∴,①
              當時,,解得.當時,. ②
              ①-②得,
              ∴。∴。∴.
              ∴數列是首項為,公比為的等比數列,∴.
              當時,,符合上式,所以數列的通項公式為。…4分
              (2)由和的所有可能乘積可構成下表:
              ,,,…,,
              ,,…,,
              ,…,,

              構造如下行列的數表:
              ,,,…,,
              ,,,…,,
              ,,,…,,
              ………………
              ,,,…,,
              設上表第一行的和為,則.……………………………10分
              于是………………………12分
              .
              ∴.…………………………………………………………14分
              (3)∵,∴。…16分


              .………………………………………………………………………18分
              ∵,∴.
              即。……………………………………………………20分
                  

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              六月丁香