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              (9份打包)湖南省岳陽縣第一中學2014年物理奧賽教案 1-9講  共用

              • 文件大小:1.53 MB
              • 資料類型:試題 資料編號:1022464
              • 感謝網友:shuxuea上傳  審核人:shulihua
              • 上傳時間:2014年10月13日 23時59分00秒
              • 更新時間:2014年10月13日 23時59分00秒
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              文件簡介::
              湖南省岳陽縣第一中學2014年物理奧賽教案
              第一講力和平衡
              知識要點:力學中常見的幾種力。摩擦力。彈性力。胡克定律。萬有引力定律。均勻球殼對殼內和殼外質點的引力公式(不要求導出)。共點力作用下物體的平衡。力矩。剛體的平衡。重心。物體平衡的種類。

              物體相對于地球靜止或勻速直線運動的狀態叫平衡;物體與物體之間的相互作用稱之為力;物體受力都要發生形變,在研究力對物體的運動效應之前,可把物體簡化為各點間距離保持不變的剛體。研究平衡系統的主要任務是:首先把平衡物體從其所在位置隔離出來,用力取代其它物體(或場)對它的作用,把它簡化為受力的平衡剛體;其次,研究作用在平衡剛體上的平衡力系,從基本的二力平衡原理出發,運用矢量方法,導出它所滿足的平衡條件;然后針對具體問題,直接運用相應力系的平衡條件進行數學求解,求出物體所受的全部未知力或平衡的幾何位置。
              一、矢量的運算
              1、加法
              表達:+=。
              名詞:為“和矢量”。
              法則:平行四邊形法則。如圖所示。
              和矢量大小:c=,其中(為和的夾角。
              和矢量方向:在、之間,和夾角β=arcsin
              2、減法
              表達:=-。
              名詞:為“被減數矢量”,為“減數矢量”,為“差矢量”。
              法則:三角形法則。如圖所示。將被減數矢量和減數矢量的起始端平移到一點,然后連接兩時量末端,指向被減數時量的時量,即是差矢量。
              差矢量大小:a=,其中θ為和的夾角。
              差矢量的方向可以用正弦定理求得。
              一條直線上的矢量運算是平行四邊形和三角形法則的特例。
              對于曲線上矢量的合成也同樣可以進行。
              如:已知質點做勻速率圓周運動,半徑為R,周期為T,求它在T內和在T內的平均加速度大小。
              解析:如圖所示,A到B點對應T的過程,A到C點對應T的過程。這三點的速度矢量分別設為、和。
              根據加速度的定義=得:=,=
              由于有兩處涉及矢量減法,設兩個差矢量=-,=-,根據三角形法則,它們在圖中的大小、方向已繪出(的“三角形”已被拉伸成一條直線)。
              本題只關心各矢量的大小,顯然:
              ===,且:==,=2=
              所以:===,===。
              觀察與思考:這兩個加速度是否相等,勻速率圓周運動是不是勻變速運動?
              答:否;不是。
              3、乘法
              矢量的乘法有兩種:叉乘和點乘,和代數的乘法有著質的不同。
              ⑴叉乘
              表達:×=
              名詞:稱“矢量的叉積”,它是一個新的矢量。
              叉積的大小:c=absinα,其中α為和的夾角。意義:的大小對應由和作成的平行四邊形的面積。
              叉積的方向:垂直和確定的平面,并由右手螺旋定則確定方向,如圖所示。
              顯然,×≠×,但有:×=-×
              ⑵點乘
              表達:·=c
              名詞:c稱“矢量的點積”,它不再是一個矢量,而是一個標量。
              點積的大小:c=abcosα,其中α為和的夾角。
              如功的定義為:W==FScos(
              二、力、剛體、五個靜力學公理
              1、力—物體間的相互作用,是物體產生加速度和形變原因。
              力系是作用在物體上的一群力,根據其力的作用線在空間的幾何位置關系,分為空間、平面、匯交、平衡力系等。
              在研究力對剛體的運動效應時,由力的等效原理可知,力對剛體是滑移矢量,作用點沿力的作用線滑移。如如圖所示。
              注:力可沿一個剛體滑移,但不可從一個剛體滑移到另一個剛體上,也不要在一個變形體上滑移。
              2、剛體—不因力的作用而發生形變的物體就叫做剛體。
              剛體是一種理想化的力學模型,實際生活中,當物體因受力作用而發生形變足夠小時,以至忽略這種形變即不影響問題的正確解決,又能使解決的過程在為簡化,這時就能把該物體當成剛體處理。
              3、五個靜力學公理
              ①二力平衡公理
              兩個力平衡的充分必要條件是:此二力作用于同一個剛體上,并且等大、反向、在同一條直線上。
              請注意,一定要:共物、等大、反向、同直線這四個條件缺一不可。
              ②增減平衡力系公理
              在作用于剛體的任何一個力系上,增加或減去一組平衡力系,原力系對物體的外效應仍然不變。
              ③力的平衡四邊形定則
              用一個力等效地代替兩個或幾個力對物體的共同作用叫力的合成,將一個力化為等效的兩個或幾個力,叫力的分解。
              力的合成與力的分解遵循平行四邊形定則。
              ④牛頓第三定律
              兩個物體間的相互作用力,總是大小相等,方向相反,并且作用在同一條直線上。
              ⑤剛化公理
              如果可變形體在已知力系的作用下處于平衡狀態,則可將此受力物體看作剛體,其平衡不受影響。
              比如,彈簧就是常見一種典型的可變形物,當它的兩端受到壓力(或拉力)時就會發生壓縮(或拉伸)形變,所加的這一對力等大、反向、共軸線時,彈簧必定穩定在相應的壓縮(或拉伸)狀態,并保持這種形變量不變,好象成了新形狀的剛體。彈簧秤就是憑借這種相應的穩定性來測力和示數的。
              三、幾種常見的力
              1、重力G
              G=mg,方向豎直向下。注意:豎直向下是指與當地的靜止水平面垂直的方向,也稱鉛垂線方向。實際上,重力是地球地物體引力的一個分力,另一個分力提供物體隨地球自轉所需要的向心力。
              2、彈力N
              直接接觸的物體,在發生彈性形變時出現的力稱為彈力,方向和接觸面法線方向相同,作用點在兩個物體的接觸處。在彈性限度內,彈簧的彈力與彈簧的形變(伸長量或壓縮量)成正比:
              F=-kx
              式中k為彈簧的勁度系數,由彈簧本身性質決定(如匝數、材料及彈簧的幾何尺寸等),負號表示彈簧彈力的方向與形變x的方向相反,彈簧伸長時x取正。
              3、摩擦力f
              摩擦力分為靜摩擦力和滑動摩擦力。是一個物體在另一個物體表面有相對運動或相對運動趨勢時,所產生的阻礙相對運動或相對趨勢的力,方向沿接觸面的切線且阻礙相對運動或相對運動趨勢。
              滑動摩擦力的計算式:f=(N。其中N是正壓力,(是動摩擦因數,由接觸面的情況和材料決定。
              靜摩擦力的大小是可變的,范圍在0≤f≤fm之間。式中fm為最大靜摩擦力,fm=(sN,(是最大靜摩擦力系數,略大于(,在沒有特別說明的情況下可以認為相等。
              摩擦角:令摩擦系數(等于某一角(的正切值,即(=tan(,這個角(稱為摩擦角。在臨界摩擦(將要發生滑動)狀態下,fm/N=(s=tan(。
              若用fk表示滑動摩擦力,N表示正壓力,則滑動摩擦角為:(=arctan(fk/N)
              支持面作用下物體的沿接觸面法線方向的彈力N與最大靜摩擦力fm的合力F(簡稱全反力)與接觸面法線方向的夾角等于摩擦角,如圖所示。
              右圖中,當fm=Gsin(,即(Gcos(=Gsin(時,(=tan(,此時(就是摩擦角。
              通常情況下,靜摩擦力f未達到最大值,即fs≤(sN,即fs/N≤(s≤tan(,因此接觸面反作用于物體的全反力F'的作用線與面法線的夾角(=arctanfs/N,不能大于摩擦角,即(≤(,這可作為判斷物體不發生滑動的條件。
              【例1】如圖所示,小木塊和水平地面之間的動摩擦因數為(,用一個與水平方面成多大角度的力拉著小木塊做勻速直線運動最省力?
              解析:







              【例2】如圖所示,兩塊固定的木板A、B之間夾著一塊長方體木塊C,C重6N,A、B對C的壓力大小都是N=10N,今對C施加一個外力F,將C從兩板間水平拉出,求F的大小和方向。已知C與A、B之間的滑動摩擦因數為0.4。
              解析:



              答案:大小為10N,方向與水平方向夾tan-10.75
              小結:涉及到二維或三維情況下的相對運動,常用方法是根據相對運動方向與滑動摩擦力方向相反的結論確定滑動摩擦力方向。
              【例3】如圖所示,有一半徑為r的圓柱繞豎直軸OO'以角速度(勻速轉動,如果用力F把質量為m的物體壓在圓柱側面,能使物體以速度v勻速下滑,求物體m與圓柱面之間的滑動摩擦系數?(已知物體m在水平方向受光滑擋板的作用使之不能隨圓柱一起轉動)
              解析:






              【例4】一個質量為m=20kg的鋼件,架在兩根完全相同的平行長直圓柱上,如圖所示。鋼件的重心與兩柱等距,兩柱的軸線在同一水平面內,圓柱的半徑r=0.025m,鋼件與圓柱間的動摩擦因數為(=0.20。兩圓柱各繞自己的軸線作轉向相反的轉動,角速度為(=40rad/s。若沿平行于柱軸的方向施力推著鋼件做速度為v0=0.050m/s的勻速運動,推力是多大?設鋼件左右受光滑導槽限制(圖中未畫出)不發生橫向運動。
              解析:










              四、共點力作用下物體平衡
              1、力的運算法則
              所有的矢量都遵循平行四邊形定則。
              力的三角形定則:兩個矢量相加將兩個力首尾相連,連接剩余的兩個端點的線段表示合力的大小,合力的方向由第一個矢量的始端指向第二個矢量的末端;兩個矢量相減,將這兩個力的始端平移在一起,連接剩余的兩個端點的線段即為兩個力的差矢量的大小,差矢量的方向指向被減矢量。
              2、平行力的合成與分解
              同向平行力的合成:兩個平行力FA和FB相距AB,則合力ΣF的大小為FA+FB,作用點C滿足FA×AC=FB×BC的關系。
              反向平行力的合成:兩個大小不同的反向平行力FA和FB相距AB,則合力ΣF的大小為FA-FB(FA>FB),作用點滿足FA×AC=FB×BC的關系。
              3、共點力作用下物體平衡條件
              平衡條件:合外力等于零。即ΣF=0,或ΣFx=0,ΣFy=0
              4、三力匯交原理
              若一個物體受三個非平行力而處于平衡狀態,則這三個力必為共點力。
              解決三力平衡問題常用的方法有:
              ①正交分解法;②合成與分解法;③相似三角形法;④正弦定律法;⑤圖解法等。
              【例5】兩根長度相等的輕繩,下端懸掛一質量為m的物體,上端分別固定在水平天花板上的M、N點,M、N兩點間的距離為S,如圖所示。已知兩繩能承受的最大拉力均為Tm,則每根繩長度不得短于多少?
              解析:





              【例6】如圖所示,一輕桿兩端固定兩個小球A和B,A、B兩球質量分別為4m和m,輕繩長為L,求平衡時OA、OB分別為多長?(不計繩與滑輪間的摩擦)
              解析:









              【例7】如圖所示,質量為m的均勻細桿,靜止在光滑的半球形容器中,設桿與水平方向的夾角為(,則容器在A點和B點給桿的支持力各多大?
              解析:



              參考答案:NA=mgtan(;NB=
              【例8】如圖所示,三個相同的光滑圓柱體,半徑為r,堆放在光滑的圓柱面內,試求下面兩個圓柱體不致分開時,圓柱面的半徑R應滿足的條件。
              解析:





              答案:R≤(1+)r
              【例9】如圖所示,半徑為R的剛性球固定在水平桌面上,有一質量為M的圓環狀均勻彈性細繩圈,原長為2(a,a=R/2,繩圈的勁度系數為k,將繩圈從球的正上方輕放到球上,使其水平停留在某個靜力平衡位置,考慮重力,忽略摩擦。
              (1)設平衡時繩圈長為2(b,b=a,求勁度系數k(用M、R、g表示,g為重力加速度)
              (2)設k=,求繩圈的最后平衡位置及長度。
              解析:








              答案:k=2πa。
              五、力矩、力偶的概念
              1、力臂
              從轉軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。
              2、力矩
              力和力臂的乘積叫力矩,記為M=FL。單位為:“牛.米”。一般規定逆時針方向為正,順時針方向為負。
              力矩的進一步理解:
              力矩也是力使物體繞某點(軸)轉動效應的能量。
              ①力對點之矩是矢量
              如圖所示,力F對O點之矩,用矢量M0(F)表示,圖中r表示力F的作用點A的位置矢量,這個力矩矢量的大小為:
              M0(F)=rFsin(r,F)=2(ABO面積
              方向:略
              ②力對軸之矩是代數量
              從一般意義上講,力對軸之矩是一個沿軸向的矢量,在定軸情況下不必強調矢量性,把它作為代數量處理較為便利。當力線與軸相垂直時,邊力線作軸的垂直平面,如圖所示,力F對軸O的之矩為
              M0(F)=(Fh
              通常規定逆時針轉向為正。
              2、力偶—由兩個等值、反向的平行力組成的力矩。
              力偶不能合成一個力,也是一個基本力學量。力偶使物體繞某點(軸)產生轉動效應,這種轉動效應的大小,由構成該力偶的兩個力對某點(軸)之力矩和—力偶矩M來量度。
              3、有固定轉軸物體的平衡條件
              平衡條件:M順=M逆
              4、重心
              物體所受重力的作用點叫重心。
              計算重心的方法:
              ①同向平行力的合成法:各分力對合力作用點的合力矩為零,則合力作用點為重心。
              ②割補法:把幾何形狀不規則的質量分布均勻的物體分割或填補成形狀規則的物體,再由同向平行力合成法求重心位置。
              ③公式法:如圖所示,在平面直角坐標系中,質量為m1和m2的A、B兩質點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則由兩物體共同組成的整體的重心坐標為
              xc=,yc=


              【例10】如圖所示,飛輪重1500N,由實驗測得其重心離轉軸O1為4毫米處的O點處,若在右側離軸25cm處鉆一圓孔,剩余部分重心將移動軸心O1,試求鉆去部分的重力。(答案:24N)
              解析:

              【例11】一個質量為m=50kg的均勻圓柱體,放在臺階的旁邊,臺階的高度h是圓柱體半徑r的一半,如圖所示,圓柱體與臺階接觸處(如圖中P點)是粗糙的,現要在圖中圓柱體的最上方A處施一最小的力使圓柱體則能開始以P為軸向臺階上滾動,求:
              (1)所施力的最小值;
              (2)臺階對圓柱體的作用力的大小。





              參考答案:(1)2.45(102N;(2)4.32(102N
              【例12】半徑為R、質量為m1的均勻圓球與一質量為m2的重物分別用細繩AD和ACE懸掛于同一點A,并處于平衡。如圖所示,已知懸點A到球心O的距離為L,若不考慮繩的質量和繩與球的摩擦,試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角(。(10屆預賽試題)
              解析:



              小結:由力矩平衡關系處理問題,關鍵是轉軸的選擇,通常選擇未知又不需要求的力的作用點所在的軸為轉軸,這樣減小方程中未知量個數,簡化運算。
              【例13】有一個水平放置的半徑為R的圓柱形光滑槽面,其軸線通過O點,槽內放著兩個半徑均為r的光滑圓柱體A、B,如圖所示,質量分別為mA和mB,且r=R/3,求圓柱體A、B平衡時,OA線與豎直線間的夾角(是多少?
              解析:



              答案:(=tan-1
              【例14】如圖所示,一根細棒上端A處用鉸鏈與天花板相連,下端用鉸鏈與另一細棒相連,兩棒的長度相等,兩棒限在圖示的豎直平面內運動,且不計鉸鏈處的摩擦,當在C端加一適當的外力(紙面內),可使兩棒平衡在圖示的位置處,即兩棒間的夾角為90(,且C端正處于A端的正下方。
              (1)不管兩棒質量如何,此外力只可能在哪個方向范圍內?試說明道理(不要求推理)。
              (2)如果AB棒質量m1=1kg,BC棒的質量為m2=2kg,求此外力大小和方向。
              解析:
              【例15】如圖所示,一個半徑為R的均質金屬球上固定著一根長為L的輕質細桿,細桿的左端用鉸鏈與墻壁相連,球下邊墊上一塊木板后,細桿恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦(已知摩擦因素為(),所以要將木板從球下面向右抽出時,至少需要大小為F的水平拉力。試問:現要將木板繼續向左插進一些,至少需要多大的水平推力?
              解析:這是一個典型的力矩平衡的例題。





              答案:。
              【例16】有六個完全相同的剛性長條薄片AiBi(i=1,2,3,……,6),其兩端下方各有一個小突起,薄片及突起的重量均可以不計,現將此六個薄片架在一只水平的碗口上,另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中,由正上方俯視如圖所示,若將一質量為m的質點放在薄片A6B6上一點,這一點與此薄片中點的距離等于它與小突起A6的距離,求此薄片A6B6中點所受的(由另一薄片的小突起A1所施的)壓力。(6屆預賽試題)
              解析:




              答案:P=
              【例17】某水果店,所用的秤是量程為10kg的吊盤式桿秤。現有一較大西瓜,超過此秤的量程。店員甲找到另一秤砣,與此桿秤秤砣完全相同,把它與原秤砣結在一起作為秤砣進行稱量。平衡時,雙砣位于6.5kg刻度處,他將刻度乘以2得13kg,作為此西瓜的質量,賣給顧客,店員乙對這種稱量結果表示懷疑,為了檢驗,他取另一西瓜,用單秤砣正常稱量得8kg,用店員甲的雙秤砣去稱量,示數為3kg,乘以2得6kg。這證明店員甲的辦法是不可靠的。試問,店員甲賣給顧客的那個西瓜實際質量是多大?(9屆預賽試題)
              解析:




              六、一般物體的平衡穩度
              1、物體平衡的種類可分為三種:
              (1)穩定平衡
              當物體稍稍偏離平衡位置時,有一個力或力矩使之回到平衡位置,這樣的平衡叫穩定平衡,處于穩定平衡的物體偏離平衡位置時一般是勢能增加。
              (2)不穩定平衡
              當物體稍稍偏離平衡位置時,有一個力或力矩使它的偏離繼續增大,這樣的平衡叫不穩定平衡,處于不穩定平衡的物體偏離平衡位置時一般是勢能減小。
              (3)隨遇平衡
              當物體稍稍偏離平衡位置時,它所受的力或力矩不發生變化,它能夠在新的位置上再次平衡,這樣的平衡叫隨遇平衡。處于隨遇平衡的物體偏離平衡位置時勢能一般不變。
              2、浮體平衡的穩定性
              浮在流體表面的浮體,所受浮力與重力大小相等、方向相反,處于平衡狀態,浮體平衡的穩定性,將因所受擾動方式的不同而異。顯然,浮體對鉛垂方向的擾動,其平衡是穩定的,對水平方向的擾動,其平衡是隨遇的。
              浮體對于過質心的水平對稱軸的旋轉擾動,其平衡的穩定性視具體情況而定,以浮于水面的般體為例:當船體向右傾斜(即船體繞過質心的水平對稱軸轉動一小角度)時,其浮心B將向右偏離,浮力FB與重力W構成一對力偶,力偶矩將促使船體恢復到原來的方位,如圖a所示。可見船體對這種擾動,其平衡是穩定的。但如果船體重心G太高,船體傾斜所造成的力偶也可能促使傾斜加劇,這時船體的平衡就是不穩定的,如圖b所示。
              3、穩度
              物體穩定的程度。一般來講,使一個物體的平衡遭到破壞所需要的能量越多,這個平衡的穩度就越高。
              【例18】如圖所示,三個直徑為重力相同的圓柱體垛在起,問圓柱體之間摩擦因數(最小為何值時,它們才不會滾散?(已知圓柱體與地面及圓柱體之間的摩擦因數相同)
              解析:


              【例19】用一根細線豎直懸掛一根長為L的均勻細木桿,置于水桶內水平面上方,如圖所示,當水桶緩慢上提時,細桿逐漸浸入水中,當木桿浸入水中超過一定深度L'時,木桿開始出現傾斜現象,求L'。已知木桿的密度為(,水的密度為(0。
              解析:



              【例20】邊長為a的均勻立方體,對稱地放在一個半徑為r的圓柱面頂部,如圖所示。假設靜摩擦系數足夠大,足以阻止立方體下滑,試證物體穩定的平衡條件為r>a/2。
              解析:




              【例21】用兩個“爬犁”(雪撬)在水平雪地上運送一根質量為m、長為L的均勻橫梁,簡化示意圖如圖所示,每個爬犁的上端A與被運送的橫梁端頭固連,下端B與雪地接觸,假設接觸面積很小,一水平牽引力F作用于前爬犁,作用點到雪地的距離用h表示,已知前爬犁與雪地間的動摩擦因數為(1,后爬犁與雪地間的動摩擦因數為(2。問要在前后兩爬犁都與雪地接觸的條件下,使橫梁沿雪地勻速向前移動,h應滿足什么條件?水平牽引力F應多大?設爬犁的質量可忽略不計。
              解析:







              【例22】如圖所示,杯中盛有密度均勻的混合液體,其密度為ρ,經過一段時間后變為密度分別為ρ1和ρ2的(ρ1FB),作用點滿足FA×AC=FB×BC的關系。
              3、共點力作用下物體平衡條件
              平衡條件:合外力等于零。即ΣF=0,或ΣFx=0,ΣFy=0
              4、三力匯交原理(受三力平衡的物體,三力若不平行,則必共點)
              若一個物體受三個非平行力而處于平衡狀態,則這三個力必為共點力。
              解決三力平衡問題常用的方法有:
              ①正交分解法;②合成與分解法;③相似三角形法;④正弦定理法;⑤圖解法等。
              【例5】兩根長度相等的輕繩,下端懸掛一質量為m的物體,上端分別固定在水平天花板上的M、N點,M、N兩點間的距離為S,如圖所示。已知兩繩能承受的最大拉力均為Tm,則每根繩長度不得短于多少?
              解析:選物體m為研究對象,受力如圖所示,設拉力T與豎直方向夾角為(,由平衡條件有
              2Tcos(=mg,由圖中幾何關系看出:
              cos(=,由此得:T=
              又因為T≤Tm,所以≤Tm
              整理得:L≥
              【例6】如圖所示,一輕桿兩端固定兩個小球A和B,A、B兩球質量分別為4m和m,輕繩長為L,求平衡時OA、OB分別為多長?(不計繩與滑輪間的摩擦)
              解法一:相似三角形法
              分別對A、B作出受力圖,由圖上可見,利用相似三角形法有:
              =,=
              又因為A、B由同一根輕繩相連,所以TA=TB,且繩子長度一定,有:OA+OB=L
              聯立解得:OA=L/5,OB=4L/5
              解法二:轉軸物體平衡法
              4mgL1=mgL2,故L1:L2=1:4
              其余同上。
              解法三:質心法。
              【例7】如圖所示,質量為m的均勻細桿,靜止在光滑的半球形容器中,設桿與水平方向的夾角為(,則容器在A點和B點給桿的支持力各多大?
              解析:正弦定理法。
              如圖所示,先受力分析,然后找出角度的關系,由正弦定理有:
              ==
              解得:NA=mgtan(;NB=
              【例8】如圖所示,三個相同的光滑圓柱體,半徑為r,堆放在光滑的圓柱面內,試求下面兩個圓柱體不致分開時,圓柱面的半徑R應滿足的條件。
              解析:設球1受到下面圓柱面的彈力為N2,球2受到底下圓柱面的彈力為N1,且N1與豎直方向夾角為(,要使2、3兩球剛好不分開的條件是這兩球無彈力。
              選球1為對象,由受力圖有:
              mg=2N2cos30(,得N2=
              選球2為對象,由平衡條件得:
              N1sin(=sin30(
              N1cos(=mg+cos30(
              消去N1得:tan(=,sin(=
              由幾何關系看出:=
              得:R=(1+)r,即球2、3不分開的條件是R≤(1+)r=6.3r

              【例9】如圖所示,半徑為R的剛性球固定在水平桌面上,有一質量為M的圓環狀均勻彈性細繩圈,原長為2(a,a=R/2,繩圈的勁度系數為k,將繩圈從球的正上方輕放到球上,使其水平停留在某個靜力平衡位置,考慮重力,忽略摩擦。
              (1)設平衡時繩圈長為2(b,b=a,求勁度系數k(用M、R、g表示,g為重力加速度)
              (2)設k=,求繩圈的最后平衡位置及長度。
              解析:(1)設平衡時繩圈位于球面上對應于緯度為(的緯度線上,繩中張力為T,選擇一微元段△L為對象,對應頂角為△(,質量為△m,如圖所示,如圖所示
              故F=2Tsin();△m==
              由圖可知,對微元分析知:
              Nsin(=F,△mg=Ncos(
              故T==
              因為△(→0,上式簡化得:T=
              對彈性繩滿足胡克定律,T=2kπ(b-a)
              ∴T=2πk()a=πkR()
              由幾何知識有:sin(=b/R=,∴tan(=1
              因此k=
              (2)當k=時,由(1)的結論T=及T=2kπ(x-a)得
              tan(=2sin(-1
              變形得:sin(=2sin(cos(-cos(,得:sin22(=1+2sin(cos(
              因為0≤sin(2()≤1,故上式無解,表明此時彈性繩已落在桌面上,這時繩長為原長2πa。
              五、力矩、力偶的概念
              1、力臂
              從轉軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。
              2、力矩
              力和力臂的乘積叫力矩,記為M=FL。單位為:“牛.米”。一般規定逆時針方向為正,順時針方向為負。
              力矩的進一步理解:
              力矩也是力使物體繞某點(軸)轉動效應的能量。
              ①力對點之矩是矢量
              如圖所示,力F對O點之矩,用矢量M0(F)表示,圖中r表示力F的作用點A的位置矢量,這個力矩矢量的大小為:
              M0(F)=rFsin(r,F)=2(ABO面積
              方向:略
              ②力對軸之矩是代數量
              從一般意義上講,力對軸之矩是一個沿軸向的矢量,在定軸情況下不必強調矢量性,把它作為代數量處理較為便利。當力線與軸相垂直時,邊力線作軸的垂直平面,如圖所示,力F對軸O的之矩為
              M0(F)=(Fh
              通常規定逆時針轉向為正。
              2、力偶—由兩個等值、反向的平行力組成的力矩。
              力偶不能合成一個力,也是一個基本力學量。力偶使物體繞某點(軸)產生轉動效應,這種轉動效應的大小,由構成該力偶的兩個力對某點(軸)之力矩和—力偶矩M來量度。
              3、有固定轉軸物體的平衡條件
              平衡條件:M順=M逆
              4、重心
              物體所受重力的作用點叫重心。
              計算重心的方法:
              ①同向平行力的合成法:各分力對合力作用點的合力矩為零,則合力作用點為重心。
              ②割補法:把幾何形狀不規則的質量分布均勻的物體分割或填補成形狀規則的物體,再由同向平行力合成法求重心位置。
              ③公式法:如圖所示,在平面直角坐標系中,質量為m1和m2的A、B兩質點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則由兩物體共同組成的整體的重心坐標為
              xc=,yc=
              【例10】如圖所示,飛輪重1500N,由實驗測得其重心離轉軸O1為4毫米處的O點處,若在右側離軸25cm處鉆一圓孔,剩余部分重心將移動軸心O1,試求鉆去部分的重力。
              解析:補償法,設鉆去部分重力為G,離中心O的距離為x2,O1離O的距離為x1,若把鉆去部分補起來,則系統總重力在O處,故有
              (1500-G)x1=Gx2,得G=24N
              ★注:本題亦可把鉆去的部分看成是一個順時針方向的力矩和一個逆時針方向的力矩疊加而成,當兩個力矩去處理,比較方法。
              【例11】一個質量為m=50kg的均勻圓柱體,放在臺階的旁邊,臺階的高度h是圓柱體半徑r的一半,如圖所示,圓柱體與臺階接觸處(如圖中P點)是粗糙的,現要在圖中圓柱體的最上方A處施一最小的力使圓柱體則能開始以P為軸向臺階上滾動,求:
              (1)所施力的最小值;
              (2)臺階對圓柱體的作用力的大小。
              解析:(1)連接AP,作A作AP的垂線,即為最小力的方向。可得最小力為2.45(102N;
              (2)方法很多。
              法一:小球受力三力作用,由(Fx=0,(Fx=0可求出
              法二:由三力匯交原理可知,臺對球的作用力一定過A點,而F又平行于P與最低點連線,可在一個直角三角形中求出力的大小為4.32(102N
              【例12】半徑為R、質量為m1的均勻圓球與一質量為m2的重物分別用細繩AD和ACE懸掛于同一點A,并處于平衡。如圖所示,已知懸點A到球心O的距離為L,若不考慮繩的質量和繩與球的摩擦,試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角(。(10屆預賽試題)
              解析:選懸點A為轉軸,從A向CO作垂線交于CO于O'點,系統受拉力TAD和TAC作用且過懸點,力矩為零,由力矩平衡條件得:
              m1g×OO'=m2g×CO'
              又在三角形中有:OO'=Lsin(
              ∴O'C=R-OO'=R-Lsin(
              三式解得:sin(=
              即(=arcsin
              小結:由力矩平衡關系處理問題,關鍵是轉軸的選擇,通常選擇未知又不需要求的力的作用點所在的軸為轉軸,這樣減小方程中未知量個數,簡化運算。
              【例13】有一個水平放置的半徑為R的圓柱形...
                  

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